☛ Résoudre y' = ay + f à partir d'une solution particulière

Énoncé

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y'= -2y +8x+8\) , où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\) .

1. On considère l'équation différentielle \((E_0)\) :  \(y'= -2y\) , où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\) . Déterminer toutes les solutions sur \(\mathbb R\)  d e l'équation différentielle   \((E_0)\) .

2. La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x) = 4x+2\) . On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb R\) . Démontrer que la fonction  \(h\) est solution de l'équation différentielle \((E)\) .

3. En déduire toutes les solutions sur  \(\mathbb R\)   de l'équation différentielle \((E)\) .

Solution

1. Les solutions, sur  \(\mathbb R\) , de l'équation  \((E_0)\)   sont les fonctions de la forme  \(x\mapsto k\text e^{-2x}\) , où \(k\) est un réel.

2. D'une part, pour tout réel \(x\) , \(h'(x)=4\) . D'autre part,   pour tout réel \(x\) ,   \(-2h(x)+8x+8=-2(4x+2)+8x+8=-8x-4+8x+8=4\) .
Donc \(h\) est solution de \((E)\) .

3. Par la propriété ci-dessus, les solutions sur   \(\mathbb R\)   de l'équation  \((E)\)  sont de la forme \(x\mapsto k\text e^{-2x} +4x+2\) , où \(k\) est réel.